Question

（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x²-4x-2经过A，B两点．
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求．
（2）①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；
②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H₁重合，此时有∠H₁OQ=∠POQ，显然若做点H₁关于OQ的对称点H₂，那么亦可得到∠H₂OQ=∠POQ，而题干要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H₁点以下、H₂点以上的H点都是符合要求的．

解答：解：（1）由抛物线y=x²-4x-2知：当x=0时，y=-2，
∴A（0，-2）．
由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；
当y=-2时，-2=x²-4x-2，解得x₁=0，x₂=4，
∴B（4，-2），
∴AB=4．

（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为7（t-1）=7t-7．
当Q点在OA上时，即0≤7t-7＜2，1≤t＜

9

7

时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．
∴

QA

AB

=

AP

BC

，即

7t-7

4

=

t

2

，
∴t=

7

5

．
∵

7

5

＞

9

7

，
∴此时t值不合题意．
当Q点在OC上时，即2≤7t-7＜6，

9

7

≤t＜

13

7

时，
如图2，过Q点作QD⊥AB．
∴AD=OQ=7（t-1）-2=7t-9．
∴DP=t-（7t-9）=9-6t．
若PQ⊥AC，易证Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴

QD

AB

=

DP

BC

，即

2

4

=

9-6t

2

，∴t=

4

3

，
∵

9

7

＜

4

3

＜

13

7

，
∴t=

4

3

符合题意．
当Q点在BC上时，即6≤7t-7≤8，

13

7

≤t≤

15

7

时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°．
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直．
综上所述，当t=

4

3

时，有PQ⊥AC．

②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，
∴

4-t

4

=

8-7(t-1)

2

，
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，-2），Q（4，-1）．
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H₁为对称轴与OP的交点时，
有∠H₁OQ=∠POQ，
∴当y_H＜-2时，∠HOQ＞∠POQ．
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，
过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．
∴OQ=

17

，
∵S_△OPQ=S_{四边形ABCO}-S_△AOP-S_△COQ-S_△QBP=3=

1

2

OQ×PM，
∴PM=

6 17

17

，
∴PP′=2PM=

12 17

17

，
∵P′N∥OC，
∴∠NPP′=∠COQ．
∴△COQ∽△NPP′
∴

CQ

OQ

=

P′N

PP′

，
∴P′N=

12

17

，PN=

48

17

，
∴P′（

46

17

，

14

17

），
∴直线OP′的解析式为y=

7

23

x，
∴OP′与NP的交点H₂（2，

14

23

）．
∴当y_H＞

14

23

时，∠HOP＞∠POQ．
综上所述，当y_H＜-2或y_H＞

14

23

时，∠HOQ＞∠POQ．

点评：函数的动点问题是较难的函数综合题，在解题时要寻找出关键点，然后正确的进行分段讨论，做到不重复、不漏解．