Question

如图，已知E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

Answer 1

（1）、（2）证明见解析

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC。∴∠ABE=∠ECF。
又∵E为BC的中点，∴BE=CE。
在△ABE和△FCE中，∵∠ABE=∠FCE，BE=CE，∠AEB=∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（ASA）。
（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF。
又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形。∴BE=EC，AE=EF。
又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠ABC+∠EAB。
∴∠ABC=∠EAB，∴AE=BE。∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC。
∴四边形ABFC为矩形。
（1）由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等。
（2）由△ABE≌△FCE，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角，利用外角的性质得到∠AEB等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角对等边可得出AE=BE，可得出AF=BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形。