Question

如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径作半圆O交AB于点C，以线段AO为直径作弧OD交半圆O于点D，过点B作AB的垂线交AD的延长线于点E，若线段AO、OD的长是一元二次方程x²-3x+2=0的两根．
（1）求证：AE是⊙O的切线； 
（2）求线段EB的长； 
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）欲证AE是切线，只需证AE⊥OD．根据直径所对的圆周角是直角易证；
（2）根据切线长定理得BE=ED；根据勾股定理易求AD的长；设BE=x．在Rt△ABE中，根据勾股定理得方程求解；
（3）连接CD，做CM⊥AD，通过切割法，首先根据（1）（2）中所推出的结论求出∠AOD的度数，即可求出扇形ADO的面积，再求出△ACD的面积，即可推出阴影部分的面积．

解答：（1）证明：∵以线段AO为直径作弧OD交圆O于点D，
∴∠ODA=90°，即AE⊥OD，
∴AE是⊙O的切线；

（2）解：∵x²-3x+2=0，
∴解方程：x₁=1，x₂=2，
∴OA=2，OD=1，
∴OC=OB=OD=1，
∴AB=3，
∵OD⊥AE，
∴AD=

3

，B=3，
∵BE⊥AC，BC为⊙O的直径，
∴BE为⊙O的切线，
设EB=x，
∴EB=ED=x，
∵BE²+AB²=AE²，
∴x²+9=（x+3）²，
∴x=

3

，
∴EB=

3

；

（3）解：连接CD，做CM⊥AD，
∵OA=2，OD=1，OD⊥AE，
∴∠A=30°，OC=AC=1，
∴CM=

1

2

，∠OCD=60°，
∴S_△ACD=

AD×CM

2

=

3

4

，
∵A线段AO为直径作弧OD交半圆O于点D，
∴S_扇形COD=

nπR2

360

=

60×π×12

360

=

π

6

，
∵S_阴影面积=S_△ACD+S_扇形COD，
∴S_阴影面积=

3

4

+

π

6

=

3 3 +2π

12

．

点评：本题主要考查切线的判定与性质、扇形的面积公式、解一元二次方程，关键在于认真的进行计算，熟练地运用相关的性质定理，运用切割法求阴影部分的面积．