Question

已知：如图，抛物线 （）与轴交于点( 0 ，4) ，与轴交于点， ，点的坐标为（ 4 ，0）.

(1) 求该抛物线的解析式;

(2) 点是线段上的动点，过点作∥，交于点，连接. 当的面积最大时，求点的坐标；

（3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为（2 ，0）. 问: 是否存在这样的直线 ，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）

 ∵抛物线（）与轴交于点( 0 ，4)，与轴交于点（ 4 ，0）

∴   解得

∴该抛物线的解析式为 

 （2）

 令，则 ，解得，， 

∴   ∴ ，，

设，的面积用表示，

方法一

∵ ∥

∴   ， 即

∴       

过点作，垂足为

在Rt中，

在Rt中   

∴

∴ 当时，的面积最大是3，即点的坐标为（1 ，0）

解法二

  ，

过点作，垂足为，则∥

∴

∵∥

∴

∴  即

∴

∴

∴

∴ 当时，的面积最大是3，即点的坐标为（1 ，0）

（3）

  ① 当为底边时，点的横坐标是1，又点在直线上，直线的解析式为，所以，点的坐标是（1，3），所以点的纵坐标为3，，代入，得点的坐标为（，3）或（，3）

②当为腰，为顶角时，此时点是以点为圆心，为半径的圆与直线的交点，有两个点，点（4，0）与点重合，舍去，点（2，2），所以点的纵坐标为2，，代入，得点的坐标为（，2）或（，2）

③当为腰，为顶角时，此时点应是以点为圆心，为半径的圆与直线的交点，但是点到的距离为，所以不存在满足条件的点.