Question

如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；

（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，

∴△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∵∠yOC=45°，

∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°，

∴AO⊥CO，

∵C′O′是CO平移得到，

∴AO⊥C′O′，

∴△OO′G是等腰直角三角形，

∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，

∴OO′=2x，

∴y=×（2x）²=2x²；

 

（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，

∵×6=3，

∴点G的坐标为（3，3），

设抛物线解析式为y=ax²+bx，

则，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+x；

 

（3）设点P到x轴的距离为h，

则S_△POB=×8h=8，

解得h=2，

当点P在x轴上方时，﹣x²+x=2，

整理得，x²﹣8x+10=0，

解得x₁=4﹣，x₂=4+，

此时，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）；

当点P在x轴下方时，﹣x²+x=﹣2，

整理得，x²﹣8x﹣10=0，

解得x₁=4﹣，x₂=4+，

此时，点P的坐标为（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2），

综上所述，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）时，△POB的面积S=8．