Question

（2013•海陵区模拟）已知直线y=-

3

4

x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A．
（1）⊙P经过点O、A、B，试求点P的坐标；
（2）如图2，点Q为线段AB上一点，QM⊥OA、QN⊥OB，连结MN，试求△MON面积的最大值；
（3）在∠OAB内是否存在点E，使得点E到射线AO和AB的距离相等，且这个距离等于点E到x轴的距离的

2

3

？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先判断出AB是圆P的直径，P为AB的中点，于是可以求出点P的坐标；
（2）设点Q（a，-

3

4

a+6），列出含有a的△MON的面积的表达式，根据二次函数的性质，求出其最值；
（3）假设存在点E（a，b）（a＞0），点E到x轴的距离b，E到射线AO为a，由题意得出a和b之间的关系，然后列出a的一元二次方程求出a的值．

解答：解：（1）令x=0，y=6，令y=0，x=8，
∴A（0，6），B（8，0），
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙P直径，P为AB的中点，
∴点P（4，3）；

（2）设点Q（a，-

3

4

a+6），
△MON的面积=

1

2

a(-

3

4

a+6)=-

3

8

(a-4)2+6，
△MON的面积的最大值为6；

（3）假设存在点E（a，b）（a＞0），
∵点E到射线AO为a，点E到x轴的距离b，点E到射线AO和AB的距离相等，且这个距离等于点E到x轴的距离的

2

3

，
∴a=

2

3

|b|，
∴点E（a，

3

2

a），
∵点E到直线AB的距离为

1

5

|9a-24|，
∵点E到射线AO为a，
∴

1

5

|9a-24|=a，
解得a=

12

7

或b=6
当a=

12

7

时，b=

18

7

，
当a=6时，b=-9，
综上E（

12

7

，

18

7

)或（6，-9）．

点评：本题主要考查一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数最值得求法以及点到直线距离的求解，此题难度比较大．