Question

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D．点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为每秒1cm；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为每秒2cm，设它们运动的时间为x秒．
（1）求当x为何值时，PQ⊥AC，当x为何值时，PQ⊥AB．
（2）设△PQD的面积为y（cm²），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式．
（3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积．

Answer 1

（1）解：当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=；
当Q在AB上时，由题意得，BP=x，AQ=2x-4，则BQ=4-（2x-4）=8-2x，
∵AB=BC=CA=4，∴∠B=60°；
若PQ⊥AB，则有∠QPB=30°，∴PB=2BQ，∴x=2（8-2）x，
解得：x=（满足条件2≤x≤4），
即当x=时，PQ⊥AB；

（2）解：作QE⊥DC于E，
∵当0＜x＜2时，
CQ=2x，∠C=60°，
∴QE=CQ•sin60°=x，
PD=2-x，
∴△PQD的面积为：y=×PD×EQ=（2-x）•x=-x²+x；

（3）证明：当0＜x＜2时，点P在BD上，在△QPC中，QC=2x，∠C=60°；
∵QE⊥DC，
∴EC=QC=x，
∴BP=EC，
∵BD=CD．
∴DP=DE；
∵AD⊥BC，QE⊥BC，
∴∠ADC=∠QEC，
∴AD∥QE，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
分析：（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）根据CQ=2x，∠C=60°，得出QE=CQ•sin60°=x，进而求出面积即可；
（3）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．再根据平行线等分线段定理即可证明；
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形的面积求法，综合运用了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及直线和圆的位置关系求解．解题的关键是用动点的时间x和速度表示线段的长度，本题有一定的综合性，难度中等．