Question

4．抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0）．与y轴交于点C．且∠ACB=90°，求这条抛物线的表达式．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式可知C点坐标为（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根据射影定理OC²=OA•OB，可求出OB的长，进而可求出B点的坐标，也就求出了m的值，然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．

解答 解：∵A（-2，0），B（4，0），
∴OA=2，OB=4，
∵∠ACB=90°，
∴OA•OB=OC²，
∴OC²=2×4=8，
∴OC=±2$\sqrt{2}$，
将A（-2，0），B（4，0），C（0，2$\sqrt{2}$代入y=ax²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{4}}\\{b=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2$\sqrt{2}$．
将A（-2，0），B（4，0），C（0，-2$\sqrt{2}$代入y=ax²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{2}}{4}}\\{b=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-2$\sqrt{2}$．
故抛物线的表达式为y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2$\sqrt{2}$或y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求得C点的坐标是解题的关键．