Question

5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，连结BD．设点D运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）求AC的长度；
（2）当t为何值时，△ABD是等腰三角形？
（3）如图2，点A关于直线BD的对称点为A′，连接A′B，A′C．当△A′BC为直角三角形时，请直接写出t的值．（写出答案即可）

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根据∠ACB=90°，AB=10，BC=8，由勾股定理可得AC的长；
（2）由题意可知AD=2t，当AB=AD时，有2t=10；当AB=BD时，则可知AC=CD，则AD=12，即2t=12；当AD=BD时，CD=2t-6，BD=2t，在Rt△BDC中，由勾股定理可得BC²+CD²=BD²，可得到关于t的方程，分别求得t即可；
（3）分情况讨论：当点D与点C重合时，∠BCA'=90°，此时△A′BC为直角三角形；当A'B∥AC时，∠CBA'=∠ACB=90°，此时△A′BC为直角三角形，分别求得t的值即可．

解答 解：（1）如图1，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∴由勾股定理得，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴AC的长度为6；
（2）如图2，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，点D运动的时间为t（t＞0）秒，
∴AD=2t，
①当AB=AD时，有2t=10，
解得t=5；
②当AB=BD时，根据BC⊥AD可知AC=CD，
∴AD=12，即2t=12，
解得t=6；
③当AD=BD=2t时，CD=2t-6，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得，BC²+CD²=BD²，
即64+（2t-6）²=4t²，
解得t=$\frac{25}{6}$；
综上所述，t的值为5s或6s或$\frac{25}{6}$s时，△ABD是等腰三角形；

（3）如图3所示，当点D与点C重合时，∠BCA'=90°，此时△A′BC为直角三角形，

∴AC=AD=6，
∴t=6÷2=3（s）；
如图4所示，当A'B∥AC时，∠CBA'=∠ACB=90°，此时△A′BC为直角三角形，

连接AA'，则AA'被BD垂直平分，
∴BA=BA'，
∵BD⊥AA'，
∴∠ABD=∠A'BD，
又∵A'B∥AD，
∴∠ADB=∠A'BD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=10，
∴t=10÷2=5（s）．
∵∠BA'C＜∠BAC＜90°，
∴∠BA'C不可能是直角．
综上所述，当△A′BC为直角三角形时，t的值为3或5秒．

点评 本题以动点问题为背景，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定以及轴对称的性质的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想进行讨论，在分类时注意不能遗漏，也不能重复．解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．