Question

20．如图，已知直线l经过点A（4，0）和B（0，-4），它与抛物线y=ax²在第三象限内相交于点P，如果△AOP的面积为$\frac{19}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 由△AOP的面积可求得P点纵坐标，再求得直线AB解析式，可求出P点坐标，再把P点坐标代入抛物线解析式可求得a的值．

解答 解：
∵A（4，0），
∴OA=4，
设P点纵坐标为y（y＜0），
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$OA•|（-y），
即$\frac{1}{2}$×4（-y）=$\frac{19}{2}$，解得y=-$\frac{19}{4}$，
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A、B坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=x-4，
∵P点也在直线AB上，
∴-$\frac{19}{4}$=x-4，解得x=-$\frac{3}{4}$，
∵P点在抛物线上，
∴-$\frac{19}{4}$=a（-$\frac{3}{4}$）²，解得a=-$\frac{76}{9}$．

点评 本题主要考查函数的交点问题，掌握函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键．