Question

化简与求值：
（1）化简：

x-1

x+2

÷

x2-2x+1

x2-4

+

1

x-1

；
（2）有一道题：“先化简再求值：（

x-1

x+1

+

2x

x2-1

）÷

1

x2-1

，其中x=-

2011

”，小明做题时把“x=-

2011

”错抄成了“x=

2011

”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？

Answer 1

分析：（1）原式第一项除数分母利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后相加即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由互为相反数的两数平方相等，得到“x=-

2011

”错抄成了“x=

2011

”，结果也是正确的．

解答：解：（1）原式=

x-1

x+2

•

(x+2)(x-2)

(x-1)2

+

1

x-1

=

x-2

x-1

+

1

x-1

=

x-2+1

x-1

=

x-1

x-1

=1；
（2）原式=[

x-1

x+1

+

2x

(x+1)(x-1)

]•（x+1）（x-1）=（x-1）²+2x=x²+1，
∵当x=-

2011

或x=

2011

时，x²的值均为2011，
∴小明虽然把x值抄错，但结果也是正确的．

点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．