Question

（2010•陕西）问题探究：
（1）请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．
问题解决：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=BC=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分．
（2）连接AC，BD中心点位P，过P点的直线分矩形为相等的两部分．
（3）假如存在，过点D的直线只要作DA⊥OB与点A，求出P点的坐标，设直线PH的表达式为y=kx+b，解出点H的坐标，求出斜率k和b．若k和b存在，直线就存在．
解答：解：
（1）如图①．
（2）如图②连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．
（3）如图③存在直线l，
过点D的直线作DA⊥OB于点A，
则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，
即直线PH为所求直线l
设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（4，2），
∴2=4k+b即b=2-4k，
∴y=kx+2-4k，
∵直线OD的表达式为y=2x，
∴，解之．
∴点H的坐标为（x=，y=）
把x=2代入直线PH的解析式y=kx+2-4k，得y=2-2k，
∴PH与线段AD的交点F（2，2-2k），
∴0＜2-2k＜4，
∴-1＜k＜1．
∴S_△DHF=（4-2+2k）•（2-）=××2×4，
∴解之，得k=．（k=舍去）
∴b=8-2，
∴直线l的表达式为y=．
点评：本题主要考查矩形的性质，前两问还是比较容易，但是最后一问比较麻烦，容易出错，做的时候要认真．