Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．
（1）求证：AD²=DG•BD；
（2）联结CG，求证：∠ECB=∠DCG．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据已知求出AD=AE，根据SAS证出△BAD≌△CAE，得出∠ABD=∠ACE，再根据DF⊥AC，AD=CD，得出AF=CF，∠GAD=∠ACE，从而得出∠GAD=∠ABD，再根据AA证出△GDA∽△ADB，得出

AD

DB

=

DG

AD

，即可得出AD²=DG•BD；
（2）在（1）的基础上证明△DCG∽△DBC，根据相似三角形的性质可以得到相应的答案．

解答：证明：（1）∵AB=AC，AD=

1

2

AC，AE=

1

2

AB，
∴AD=AE，
在△BAD和△CAE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE．
∴∠ABD=∠ACE，
∵DF⊥AC，AD=CD，
∴AF=CF，
∴∠GAD=∠ACE，
∴∠GAD=∠ABD．
∵∠GDA=∠ADB，
∴△GDA∽△ADB．
∴

AD

DB

=

DG

AD

，
∴AD²=DG•BD．

（2）证明：
∵

AD

DB

=

DG

AD

，AD=CD，
∴

CD

DB

=

DG

CD

．
∵∠CDG=∠BDC，
∴△DCG∽△DBC．
∴∠DBC=∠DCG．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ABD=∠ACE，
∴∠ECB=∠DBC=∠DCG，
∴∠ECB=∠DCG．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解．