Question

如图，O为原点，线段OA与x轴正半轴重合，且OA=4a，四边形OABC为正方形，以OA为直径作⊙P，过C作⊙P的切线，切点为Q，延长CQ交AB于D．
（1）求证：PQ²=CQ•QD；
（2）若a=1，求过O、Q、A三点的抛物线解析式．

Answer 1

考点：切线的性质,待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连接CP，DP，根据CD，OC都与圆相切，得到一对直角相等，利用HL得到直角三角形PCO与直角三角形PCQ全等，利用全等三角形对应角相等得到∠CPO=∠CPQ，同理得到∠DPA=∠DPQ，利用平角的定义及等式性质得到∠CPD=90°，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形CPQ与三角形PQD相似，由相似得比例即可得证；
（2）将a=1代入确定出正方形的边长，进而确定出A坐标，过Q作QN垂直于x轴，连接OQ，根据CO=QO，OP=QP，得到CP垂直平分OQ，即M为OQ中点，利用同角的余角相等得到∠OCP=∠QON，由OP=2，OC=4，求出tan∠OCP的值，即为tan∠QON的值，在直角三角形OCP中，利用面积法求出OM的长，确定出OQ的长，利用锐角三角函数定义求出QN与ON的长，确定出Q坐标，根据A与O坐标设出抛物线的二根式方程，将Q坐标代入即可确定出解析式．

解答：（1）证明：连接CP，DP，
∵AD，CO都与圆O相切，
∴PQ⊥CQ，CO⊥PO，
∴CO=CQ，
在Rt△CPO与Rt△CPQ中，

CO=CQ CP=CP

，
∴Rt△CPO≌Rt△CPQ（HL），
∴∠CPO=∠CPQ，
同理∠DPQ=∠DPQ，
∵∠QPO+∠QPA=180°，即∠CPO+∠CPQ+∠DPQ+∠DPA=180°，
∴∠CPQ+∠QPD=90°，
∵∠CPQ+∠PCQ=90°，
∴∠QPD=∠PCQ，
∵∠PQD=∠CQP=90°，
∴△PDQ∽△CPQ，
∴

PQ

CQ

=

QD

PQ

，即PQ²=CQ•QD；
（2）解：∵a=1，∴A（4，0），
连接OQ，与CP交于点M，过Q作QN⊥x轴，
∵CO=CQ，PO=PQ，
∴CP垂直平分OQ，
∴OM=QM，
∵

1

2

CP•OM=

1

2

OC•OP，
∴OM=

OC•OP

CP

=

4×2

2 5

=

4 5

5

，
∴OQ=

8 5

5

，
∵∠OCP=∠QON，
∴tan∠OCP=tan∠QON=

OP

OC

=

1

2

，
设QN=x，则有ON=2x，
根据勾股定理得：x²+（2x）²=（

8 5

5

）²，
解得：x=

8

5

（负值舍去），
∴Q（

8

5

，

16

5

），
设抛物线解析式为y=a（x-0）（x-4），
将x=

8

5

，y=

16

5

代入得：a=-

5

6

，
则抛物线解析式为y=-

5

6

x²+

10

3

x．

点评：此题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．