Question

如图,抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x=-.

(1)求抛物线的解析式；

(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标.

Answer 1

(1)依题意，设抛物线的解析式为y=a(x+)²+k.

由A(2，0)，C(0，3)得

解得

∴抛物线的解析式为y=-(x+)²+.

(2)当y=0时，有-(x+)²+=0.

解得x₁=2，x₂=-3.∴B(-3,0).

∵△MBC为等腰三角形，则

①当BC=CM时，M在线段BA的延长线上，不符合题意.即此时点M不存在；

②当CM=BM时，∵M在线段AB上，

∴M点在原点O上.即M点坐标为(0,0)；

③当BC=BM时，在Rt△BOC中,BO=CO=3,

由勾股定理得BC==3，

∴BM=3.

∴M点坐标为(3-3,0).

综上所述，M点的坐标为(0,0)或(3-3,0).