Question

（1）已知a＞0，b＞0，c＞0．求证：

2a

b+c

+

2b

c+a

+

2c

a+b

≥3；
（2）如果a，b，

2a-1

b

，

2b-1

a

都是整数，并且a＞1，b＞1，试求：a+2b的值．

Answer 1

分析：（1）有a²-2ab+b²=（a-b）²≥0，得出x+

1

x

≥2，然后配方法得出

2a

b+c

+

2b

c+a

+

2c

a+b

+3≥6，从而证明

2a

b+c

+

2b

c+a

+

2c

a+b

≥3；
（2）根据a，b，

2a-1

b

，

2b-1

a

都是整数，设

2a-1

b

=x，

2b-1

a

=y，从而讨论当a，b，x，y都是偶数时，a，b的取值．

解答：（1）证明：∵a²-2ab+b²=（a-b）²≥0
∴a²+b²≥2ab（当a=b时取等号）
∴x＞0时，若a=x，b=

1

x

，则x+

1

x

≥2（当x=

1

x

且x＞0时取等号）
∴

2a

b+c

+

2b

c+a

+

2c

a+b

+3
=

2a+b+c

b+c

+

2b+a+c

c+a

+

2c+a+b

a+b

=

a+b

b+c

+

a+c

b+c

+

b+c

a+c

+

a+b

a+c

+

a+c

a+b

+

b+c

a+b

…（1）；
∵a＞0，b＞0，c＞0，∴

a+b

b+c

＞0且

b+c

a+b

＞0
∴

a+b

b+c

+

b+c

a+b

≥2，

a+b

a+c

+

a+c

a+b

≥2，

a+c

b+c

+

b+c

a+c

≥2，
∴（1）≥6（当a=b=c时取等号）
∴原不等式：

2a

b+c

+

2b

a+c

+

2c

a+b

≥3；

（2）当a=b时，有：

2a-1

b

=

2a-1

a

=2-

1

a

.，
∵a＞1且a为整数，
∴2-

1

a

即

2a-1

b

非整数，与已知矛盾，
所以a不等于b，不妨设a＞b，
设

2a-1

b

=x，

2b-1

a

=y，且x，y均为正整数且x＞y，
∴2a-1=bx，2b-1=ay，
∴（4-xy）a=x+2，∵a＞1，x＞1且a，x均为整数，
∴4-xy必是正整数，
∴xy=3或xy=2或xy=1，
当xy=3时，解得：

x=3 y=1

∴

a=5 b=3

，
当xy=2时，解得：

x=2 y=1

∴

a=2 b= 3 2

（不合题意），
当xy=1时，不合题意舍，
∴a+2b=11．

点评：本题考查了分式不等式的证明问题和分数整数的概念问题，要求充分理解其概念并灵活运用．