Question

已知两个二次方程x²+ax+b=0与x²+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程也有一个根为1．

Answer 1

证明：∵x=1是方程x²+ax+b=0和x²+cx+d=0的公共根，
∴a+b+1=0，c+d+1=0，
∴a+c+b+d+2=0，
∴b+d=-a-c-2 ①
把①代入方程x²+x+=0，
得：x²+x-1-=0，
（x²-1）+（x-1）=0，
（x-1）（x+1+）=0，
∴x₁=1，x₂=1+．
故二次方程x²+x+=0也有一个公共根为1．
分析：本题是一道证明题，因为x=1是这两个方程的公共根，所以它必须同时满足这两个方程，得到字母系数a，b，c，d之间的关系，然后利用它们之间的关系就可以证明．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，由方程的解确定字母系数之间的关系，利用它们之间的关系加以证明．