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    已知：一元二次方程x2+kx+k﹣=0．

    （1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；

    （2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；

    （3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？

    考点：

    二次函数综合题．

    分析：

    （1）根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定已知方程的根的情况；

    （2）利用根与系数的关系（|xA﹣xB|==4）列出关于k的方程，通过解方程来求k的值；

    （3）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围．

    解答：

    （1）证明：∵△=k2﹣4××（k﹣）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，

    ∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；

    （2）令y=0，则x2+kx+k﹣=0．

    ∵xA+xB=﹣2k，xA•xB=2k﹣1，

    ∴|xA﹣xB|===2|k﹣1|=4，即|k﹣1|=2，

    解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1．

    ∴此二次函数的解析式是y=x2﹣x﹣；

    （3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣．

    易求A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2），

    ∴AB=4，AC=2，BC=2．

    显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是等腰直角三角形．AB为斜边，

    ∴外接圆的直径为AB=4，

    ∴﹣2≤m≤2．

    点评：

    本题综合考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大．

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    0
    ．

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    已知：一元二次方程kx2+4x+4=0（k≠0），当k为何值时方程有两个相等的实数根（　　）
    A、k=
    1
    2
    B、k=-
    1
    2
    C、k=1
    D、k=-1

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•娄底）已知：一元二次方程
    1
    2
    x2+kx+k-
    1
    2
    =0．
    （1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
    （2）设k＜0，当二次函数y=
    1
    2
    x2+kx+k-
    1
    2
    的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
    （3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知如下一元二次方程：
    第1个方程：3x2+2x-1=0；
    第2个方程：5x2+4x-1=0；
    第3个方程：7x2+6x-1=0；
    …
    按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为
    17x2 +16x-1=0
    17x2 +16x-1=0
    ；第n（n为正整数）个方程为
    （2n+1）x2 +2nx-1=0
    （2n+1）x2 +2nx-1=0
    ，其两个实数根为
    x1=-1，x2=
    1
    2n+1
    x1=-1，x2=
    1
    2n+1
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知一个一元二次方程的两根分别为x1=1，x2=-2，请你写出符合这两个根的一个一元二次方程：
    x2+x-2=0（答案不唯一）．
    x2+x-2=0（答案不唯一）．
    ．

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