Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从A点开始，沿AD边向D运动，速度为1厘米/秒，点N从点C开始沿CB边向点B运动，速度为2厘米/秒，设四边形MNCD的面积为S．
（1）写出面积S与时间t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？

Answer 1

解：（1）根据题意得：AM=tcm，CN=2tcm，则MD=AD-AM=15-t（cm），
∴S=（MD+CN）•AD=×（15-t+2t）×14=7t+105（cm²）；
∴面积S与时间t之间的函数关系式为：S=7t+105；

（2）∵点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，
∴MD=AD-AM=15-t，CN=2t，
四边形MNCD是平行四边形时，MD=CN，
∴15-t=2t，
解得t=5；
∴当t=5时，四边形MNCD是平行四边形；

（3）如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=15cm，
∴CE=BC-BE=21-15=6cm，
四边形MNCD是等腰梯形时，CN=2CE+MD，
∴2t=2×6+15-t，
解得t=9．
∴当t=9时，四边形MNCD是等腰梯形．
分析：（1）用t表示出AM、BN，然后根据梯形的面积公式求解即可求得答案；
（2）用t表示出MD、CN，然后根据平行四边形对边相等可得MD=CN，然后计算即可得解；
（3）过点D作DE⊥BC于E，然后判断出四边形ABED是矩形，根据矩形的对边相等求出BE，再求出CE，然后表示出MD，再根据等腰梯形的性质，四边形MNCD为等腰梯形时，CN=2CE+MD，列出方程求解即可．
点评：本题考查了梯形，平行四边形的性质，直角梯形的性质，等腰梯形的性质，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键．