【题目】已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系________;
(2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:∠ABD=∠C;
(3)如图3,在(2)问的条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
【答案】(1)∠A+∠C=90°;(2)见解析;(3)105°.
【解析】试题分析:(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可; (2)先过点B作BG∥DM,根据同角的余角相等,得出∠ABD=∠CBG,再根据平行线的性质,得出∠C=∠CBG,即可得结论;(3)先过点B作BG∥DM,根据角平分线的定义,得出∠ABF=∠GBF,设∠DBE=α,∠ABF=β,根据由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,根据AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程组即可得到∠ABE=15°,进而得∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
试题解析:
(1)如图1,∵AM∥CN,
∴∠C=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠A+∠AOB=90°,
∴∠A+∠C=90°,
(2)如图2,过点B作BG∥DM,
∵BD⊥AM,
∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°,
又∵AB⊥BC,
∴∠CBG+∠ABG=90°,
∴∠ABD=∠CBG,
∵AM∥CN,
∴∠C=∠CBG,
∴∠ABD=∠C;
(3)如图3,过点B作BG∥DM,
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,
由(2)可得∠ABD=∠CBG,
∴∠ABF=∠GBF,
设∠DBE=α,∠ABF=β,则
∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,
∴∠AFC=3α+β,
∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得
(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,①
由AB⊥BC,可得
β+β+2α=90°,②
由①②联立方程组,解得α=15°,
∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
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【题目】在下列调查中,适宜采用全面调查的是( )
A. 了解明德集团所有中学生的视力情况
B. 了解某校七(4)班学生校服的尺码情况
C. 调查北京2017年的游客流量
D. 调查中国“2018俄罗斯世界杯”栏目的收视率
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【题目】团队游客年龄的方差分别是S甲2=1.4,S乙2=18.8,S丙2=2.5,导游小力最喜欢带游客年龄相近龄的团队,则他在甲、乙、丙三个的中应选_____.
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【题目】合肥百大集团新进了40台空调机,60台电冰箱,计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表:
空调机 | 电冰箱 | |
甲连锁店 | 200 | 170 |
乙连锁店 | 160 | 150 |
设集团调配给甲连锁店x台空调机,集团卖出这100台电器的总利润为y(元).
(1)求y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围;
(2)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润,问该集团应该如何设计调配方案,才能使总利润达到最大?
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