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【题目】已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.

(1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系________

(2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:∠ABD=∠C;

(3)如图3,在(2)问的条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.

【答案】(1)∠A+∠C=90°;(2)见解析;(3)105°.

【解析】试题分析:(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可(2)先过点BBGDM根据同角的余角相等,得出∠ABD=CBG再根据平行线的性质得出∠C=CBG即可得结论(3)先过点BBGDM根据角平分线的定义得出∠ABF=GBF,设∠DBE=αABF=β根据由∠CBF+BFC+BCF=180°可得2α+β+3α+3α+β=180°根据ABBC,可得β+β+2α=90°最后解方程组即可得到∠ABE=15°进而得∠EBC=ABE+ABC=15°+90°=105°

试题解析:

1)如图1AMCN

∴∠C=AOB

ABBC

∴∠A+AOB=90°

∴∠A+C=90°

2)如图2,过点BBGDM

BDAM

DBBG,即∠ABD+ABG=90°

又∵ABBC

∴∠CBG+ABG=90°

∴∠ABD=CBG

AMCN

∴∠C=CBG

∴∠ABD=C

3)如图3,过点BBGDM

BF平分∠DBCBE平分∠ABD

∴∠DBF=CBFDBE=ABE

由(2)可得∠ABD=CBG

∴∠ABF=GBF

设∠DBE=αABF=β,则

ABE=αABD=2α=CBGGBF=β=AFBBFC=3DBE=3α

∴∠AFC=3α+β

∵∠AFC+NCF=180°FCB+NCF=180°

∴∠FCB=AFC=3α+β

BCF中,由∠CBF+BFC+BCF=180°,可得

2α+β+3α+3α+β=180°

ABBC,可得

β+β+2α=90°

由①②联立方程组,解得α=15°

∴∠ABE=15°

∴∠EBC=ABE+ABC=15°+90°=105°

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