Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作?PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴$\frac{CO}{BC}$=$\frac{OP′}{AB}$，
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{OP′}{3}$，
∴OP′=$\frac{6}{5}$，
∴则PQ的最小值为2OP′=$\frac{12}{5}$，
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．