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【题目】ABC中,∠BAC90°ABACADBC于点D.过射线AD上一点MBM的垂线,交直线AC于点N

1)如图1,点MAD上,若∠N15°BC2,则线段AM的长为   

2)如图2,点MAD上,求证:BMNM

3)若点MAD的延长线上,则ABAMAN之间有何数量关系?直接写出你的结论,不证明.

【答案】11;(2)见解析;(3AM

【解析】

(1)证得∠ABM=15°,则∠MBD=30°,求出DM=1,则AM可求出;
(2)过点M作AD的垂线交AB于点E,根据ASA可证明△BEM≌△NAM,得出BM=NM;
(3)过点M作AD的垂线交AB于点E,同(2)可得△AEM为等腰直角三角形,证明△BEM≌△NAM,BE=AN,则问题可解;

解:(1)∵∠N15°,∠BMN=∠BAN90°

∴∠ABM15°

ABAC,∠BAC90°ADBC

∴∠ABC=∠C45°BDCD

∴∠MBD=∠ABD﹣∠ABM45°15°30°

DM

1

故答案为:1

2)过点MAD的垂线交AB于点E

∵∠BAC90°ABACADBC

∴∠NAB90°,∠BAD45°

∴∠AEM90°45°45°BAD

EMAM,∠BEM135°

∵∠NAB90°,∠BAD45°

∴∠NAD135°

∴∠BEM=∠NAD

EMAD

∴∠AMN+EMN90°

MNBM

∴∠BME+EMN90°

∴∠BME=∠AMN

BEMNAM中,

∴△BEM≌△NAMASA),

BMNM

3)数量关系是:AB+ANAM

证明:过点MAD的垂线交AB于点E

同(2)可得AEM为等腰直角三角形,

∴∠E45°AMEM

∵∠AME=∠BMN90°

∴∠BME=∠AMN

BEMNAM中,

∴△BEM≌△NAMAAS),

BEAN

AM

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