Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒时，PBQ的面积最大？最大面积是多少？

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）存在，或

【解析】

（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得，

所以该抛物线的解析式为：；

（2）设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t．

∴PB＝6﹣3t．

由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．

在RtBOC中，．

如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．

∴QH∥CO，

∴BHQ∽BOC，

∴，即，

∴．

∴．

当PBQ存在时，0＜t＜2

∴当t＝1时，．

答：运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；

（3）如图2，

在RtOBC中，．

设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t．

∴PB＝6﹣3t．

当∠PQB＝90°时，，

即，

化简，得17t＝24，

解得，

当∠BPQ＝90°时，

，

化简，得19t＝30，

解得，

综上所述：或时，以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形．