Question

13．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m．n]上的“闭函数”．如函数y=-x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y=-x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=$\frac{2015}{x}$是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若二次函数y=x²-2x-k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；
（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数y=$\frac{2015}{x}$的单调区间进行判断；
（2）由于二次函数y=x²-2x-k的图象开口向上，对称轴为x=1，所以二次函数y=x²-2x-k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．当x=1时，y=1，所以k=-2．当x=2时，y=2，所以k=-2．即图象过点（1，1）和（2，2），所以当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，所以k=-2．
（3）根据新定义运算法则，分两种情况：k＞0，k＜0，列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值，即可解答．

解答 解：（1）反比例函数y=$\frac{2015}{x}$是闭区间[1，2015]上的“闭函数”．理由如下：
反比例函数y=$\frac{2015}{x}$在第一象限，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2015；
当x=2015时，y=1，
即图象过点（1，2015）和（2015，1）
∴当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，符合闭函数的定义，
∴反比例函数y=$\frac{2015}{x}$是闭区间[1，2015]上的“闭函数”；

（2）由于二次函数y=x²-2x-k的图象开口向上，
对称轴为x=1，
∴二次函数y=x²-2x-k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．
当x=1时，y=1，
∴k=-2；
当x=2时，y=2，
∴k=-2；
即图象过点（1，1）和（2，2），
∴当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，
∴k=-2．

（3）因为一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
根据一次函数的图象与性质，有：
（Ⅰ）当k＞0时，即图象过点（m，m）和（n，n），
$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=m}\\{nk+b=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴y=x；
（Ⅱ）当k＜0时，即图象过点（m，n）和（n，m），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=n}\\{nk+b=m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=m+n}\end{array}\right.$，
∴y=-x+m+n，
∴一次函数的解析式为y=x或y=-x+m+n．

点评 本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．