Question

【题目】已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，方程cx2+bx﹣a=0是关于x的一元二次方程．

（1）判断方程cx2+bx﹣a=0的根的情况为 （填序号）；

①方程有两个相等的实数根；

②方程有两个不相等的实数根；

③方程无实数根；

④无法判断

（2）如图，若△ABC内接于半径为2的⊙O，直径BD⊥AC于点E，且∠D=30°，求方程cx2+bx﹣a=0的根；

（3）若x=a是方程cx2+bx﹣a=0的一个根，△ABC的三边a、b、c的长均为整数，试求a、b、c的值．

Answer 1

【答案】（1）②；（2），．（3）a=2，b=3，c=2．

【解析】

试题分析：（1）先计算判别式的值得到△=b2+4ac，由于a、b、c为三角形的边长，则△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；

（2）连接OA，如图，根据垂径定理，由BD⊥AC得到，弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，再利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=CB，利用圆周角定理得到∠ABD=∠DAC=60°，则可判断△OAB为等边三角形，得到AB=OB=2，AE=OB=，所以AC=2AE=2，即a=2，b=2，c=2，然后利用求根公式法解方程2x2+2x﹣2=0；

（3）根据一元二次方程根的定义，把x=a代入cx2+bx﹣a=0后变形得到=4﹣b，易得b＜4，利用a、b、c的长均为整数得到b=1，2，3，然后分类讨论：当b=1时，ac=12，；当b=2时，ac=8；当b=3时，ac=4，再利用整数的整除性求出a、c的值，然后利用三角形三边的关系确定满足条件的a、b、c的值．

解：（1）△=b2﹣4a（﹣c）=b2+4ac，

∵a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，即a、b、c都是正数，

∴△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

故答案为：②；

（2）连接OA，如图，

∵BD⊥AC，∠D=30°，

∴弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，∠DAC=60°，

∴AB=CB，∠ABD=∠DAC=60°，

∴△OAB为等边三角形，

∴AB=OB=2，

∴AE=OB=，

∴AC=2AE=2，

即a=2，b=2，c=2，

方程cx2+bx﹣a=0变形为2x2+2x﹣2=0，

整理得方﹣1=0，

解得：，．

（3）把x=a代入cx2+bx﹣a=0得=0，

整理得=4﹣b，则4﹣b＞0，

即b＜4，

∵a、b、c的长均为整数，

∴b=1，2，3，

当b=1时，ac=12，则a=1，c=12；a=2，c=6；a=3，c=4；a=6，c=2；a=12，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；

当b=2时，ac=8，则a=1，c=8；a=2，c=4；a=4，c=2；a=8，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；

当b=3时，ac=4，则a=1，c=4；a=2，c=2；a=4，c=1，其中a=2，c=2符合三角形三边的关系，

∴a=2，b=3，c=2．