Question

如图，AC、BD为⊙O的两条弦，AC，BD相交于点P．
（1）若AC=BD，证明：①

AB

=

CD

，②BP=CP；
（2）连接OP，若OP平分∠BPC，证明：CP=BP．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）连接BC，如图1，①根据圆心角、弧、弦的关系由AC=BD得到

AC

=

BD

，然后利用等量减等量差相等即可得到

AB

=

CD

；②根据圆周角定理由

AB

=

CD

得到∠C=∠B，然后根据等腰三角形的判定定理可得BP=CP；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如图2，根据角平分线定理得OM=ON，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC=BD，再与（1）一样可得BP=CP．

解答：证明：（1）连接BC，如图1，
①∵AC=BD，
∴

AC

=

BD

，
∴

AC

-

AD

=

BD

-

AD

，
∴

AB

=

CD

；
②∵

AB

=

CD

，
∴∠C=∠B，
∴BP=CP；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如图2，
∵OP平分∠BPC，
∴OM=ON，
∴AC=BD，
由（1）得BP=CP．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．