Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，点O在边BC上，⊙O经过点A，B，且与BC相交于点D．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，请直接写出阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由AB=AC，则∠C=∠B=30°，∠AOC=60°，从而得出∠OAC=90°，则直线CA与⊙O相切；
（2）连接AD，作OE⊥AB，根据圆周角定理得出∠BAD=90°，通过解直角三角函数求得直径BD的长，进而得出半径的长以及OE的长，根据S_阴影=S_△AOB+S_扇形求得即可．

解答 解：（1）连接OA，∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠ABC=30°，
∴∠C=30°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=90°，
∴直线CA与⊙O相切；
（2）连接AD，作OE⊥AB，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=30°，
∴cos∠B=$\frac{AB}{BD}$，
∴BD=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OB=OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_阴影=S_△AOB+S_扇形=$\frac{1}{2}$AB•OE+$\frac{60π×O{D}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{60π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2}{9}$π．

点评 本题考查了切线的判定、解直角三角函数以及扇形面积的计算，要熟练掌握扇形的面积公式，是解题的关键．