Question

4．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕为BC，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A． π
• B． π-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． π-$\sqrt{3}$
• D． π-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．

解答 解：连接OD．
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB•tan∠CBO=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△BDC=S_△OBC=$\frac{1}{2}$×OB×OC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，S_扇形AOB=$\frac{90}{360}$π×2²=π，
∴整个阴影部分的面积为：S_扇形AOB-S_△BDC-S_△OBC=π-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=π-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选D．

点评 此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．