Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=4，BC=，CD=9．
（1）在BC边上找一点O，过O点作OP⊥BC交AD于P，且OP²=AB•DC．求BO的长；
（2）以BC所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求经过A、O、D三点的抛物线的解析式，并画出引抛物线的草图；
（3）在（2）中的抛物线上，连接AO、DO，证明：△AOD为直角三角形；过P点任作一直线与抛物线相交于A′（x₁，y₁），D′（x₂，y₂）两点，连接A′O、B′O，试问：△A′O′D′还为直角三角形吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）在BC上取一点O，作OP⊥BC交AD于点P．
由OP²=BA•CD=4×9=36，得OP=6（取正），
过点A作直线AE∥BC，交OP于E，交CD于F．则BO=AE=．

（2）根据题意建立直角坐标系，如图所示，则A（），B（），
O（0，0），C（），D（），
过A、O、D三点的抛物线的解析式y=ax²+bx+c满足
解得，
∴抛物线的解析式为y=x²．

（3）连接OA、OD，在Rt△AOB和Rt△ODC中，
∴=
∴，
∴Rt△AOB∽Rt△ODC，
∴∠AOD=180°-90°=90°，
∴△AOD为直角三角形．
分析：（1）本题可通过构建相似三角形来求解，先求出OP的长，然后过A作AF∥BC交CD于F，交OP于E，根据AB、OP、CD的长可求出DF、PE的长，然后根据△APE和△ADF相似可求出AE即BO的长．
（2）在（1）中求出了BO的长，即可得出OC的长，那么A、D的坐标就可求得．然后用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（3）①证∠AOD=90°，可连接OA，OD通过证△AOB∽△ODC来得出∠AOB=∠ODC，进而求得∠AOB+∠DOC=∠ODC+∠DOC=90°，以此来证得∠AOD=90°．证两三角形相似时，可根据A、D的坐标求出AB，OB，OC，CD的长，然后证他们对应成比例即可．
②方法同①，可设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），求出与抛物线的交点然后同①．
点评：本题主要考查了直角梯形的性质、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点．