Question

如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy+yz+zx=28，求xyz的大小．

Answer 1

解：如图：∵S_△PBC=PM•BC，S_△ABC=AN•BC，
∴===，
同理：=，=，
∵S_△ABC=S_△PBC+S_△PCA+S_△PAB，
∴++=1．
即1-+1-+1-=1，
∴++=1，
∴3（yz+zx+xy）+36（x+y+z）+324
=xyz+6（xy+yz+zx）+36（x+y+z）+216，
∴xy+yz+zx=28．
∴xyz=108-3（xy+yz+zx）=24．
答：xyz的大小为：24．
分析：先求证=，同理：=，=，再利用S_△ABC=S_△PBC+S_△PCA+S_△PAB，将分式化简，再将xy+yz+zx=28代入即可．
点评：此题主要考查学生对三角形面积计算的理解和掌握，解答此题的关键是求证=，=，=．此题有一定的拔高难度，属于难题．