Question

如图，在△ABC的AB、AC边的外侧作等边△ACE和等边△ABF，连接BE、CF相交于点O，
（1）求证：CF=BE；
（2）连AO，则：①AO平分∠BAC；②OA平分∠EOF，你认为正确的是______（填①或②）．并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵△ABF和△ACE是等边三角形，
∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠FAC=∠BAE，
在△ABE与△AFC中，
AB=AF
∠BAE=FAC
AE=AC
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE=FC；

（2）解：连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图，
∵△ABE≌△AFC，
∴S_△ABE=S_△AFC，
∴AP•CF=AQ•BE，
而CF=BE，
∴AP=AQ，
∴OA不一定平分∠MAN，所以①错误；
∵在RT△AOP和RT△AOM中，
，
∴RT△AOP≌RT△AOM（HL）
∴∠AOF=∠AOE，所以②正确．
故答案为②．
分析：（1）根据等边三角形的性质得到AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，则∠FAC=∠BAE，易证得△ABE≌△AFC，即可得到结论；
（2）连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AQ⊥BE于Q，由（1）得△ABE≌△AFC，得到S_△ABE=S_△AFC，则AP=AQ，则OA不一定平分∠MAN，进而得出RT△AOP≌RT△AOM，则OA平分∠EOF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：如果两边对应相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等边三角形的性质以及四点共圆的性质和判定．