(2013•高淳县一模)如图①.若点P是△ABC内或边上一点.且∠BPC=2∠A.则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．(1)如图②.点O等边△ABC的外心.连接OB.OC．①求证:点O是△ABC内∠A的一个二倍角点,②作△BOC的外接圆.求证:弧BOC上任意一点都是△ABC内∠A的二倍角点．(2)如图③.在△ABC的边AB上求作一点M.使点M是△ABC内∠A的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

（2013•高淳县一模）如图①，若点P是△ABC内或边上一点，且∠BPC=2∠A，则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．
（1）如图②，点O等边△ABC的外心，连接OB、OC．
①求证：点O是△ABC内∠A的一个二倍角点；
②作△BOC的外接圆，求证：弧BOC上任意一点（B、C除外）都是△ABC内∠A的二倍角点．
（2）如图③，在△ABC的边AB上求作一点M，使点M是△ABC内∠A的一个二倍角点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法）．
（3）在任意三角形形内，是否存在一点P同时为该三角形内三个内角的二倍角点？请直接写出结论，不必说明理由．

分析：（1）①由点O等边△ABC的外心，连接OB、OC，根据三角形外心的性质与圆周角定理，即可得∠BOC=2∠A，且点O在△ABC内，即可证得点O是△ABC内∠A的一个二倍角点；
②由圆周角定理可得∠BO′C=∠BOC，且点O′是△ABC的内一点，即可证得弧BOC上任意一点（B、C除外）都是△ABC内∠A的二倍角点．
（2）作AC的垂直平分线交AB于点M，连接MC，可得AM=CM，即可得∠ACM=∠A，则∠BMC=∠A+∠ACM=2∠A，可得M是△ABC内∠A的一个二倍角点；
（3）分别从锐角三角形、直角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）①∵点O等边△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠A，
又∵点O在△ABC内，
∴点O是△ABC内∠A的一个二倍角点．…（2分）

②设O′弧BOC上任意一点，
则∠BO′C=∠BOC，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠BO′C=2∠A，
又∵点O′是△ABC的内一点，
∴点O′是△ABC内∠A的二倍角点．…（4分）

（2）如右图，作AC的垂直平分线交AB于点M，连接MC，
则点M为所求作的点．…（6分）

（3）ⅰ）当三角形为锐角或直角三角形时，三角形外接圆的圆心即为该三角形内三个内角的二倍角点； …（8分）
ⅱ）当三角形为钝角三角形时，不存在一点同时为该三角形内三个内角的二倍角点．…（10分）

点评：此题考查了三角形外心的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

练习册系列答案

育才课堂教学案系列答案

新课标教材同步导练绩优学案系列答案

智慧鸟单元评估卷系列答案

中考必备河南中考试题精选精析卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

（2013•高淳县一模）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，已知甲出发0.5h后乙开始出发，如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，请结合图中的信息解决如下问题：
（1）计算甲、乙两车的速度及a的值；
（2）乙车到达B地后以原速立即返回．
①在图中画出乙车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象；
②请问甲车在离B地多远处与返程中的乙车相遇？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2013•高淳县一模）第四届高淳国际慢城金花旅游节期间，全区共接待游客686000人次．将686000用科学记数法表示为（　　）

A．686×10⁴

B．68.6×10⁵

C．6.86×10⁵

D．6.86×10⁶

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：