Question

某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图①所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图②所示．某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图③所示，已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口．
（1）求a的值；
（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；
（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？

Answer 1

分析：这是个动态问题，比较复杂，需从新增人数和售出票数两个方面同时考虑．
（1）a分钟新增4a人，两个窗口售出2×3a张票，此时窗口有240人，据此得方程求解；
（2）运用待定系数法求直线解析式，求x=60时的函数值；
（3）根据题意列不等式求解．

解答：解：
（1）由图①②可知，每分钟新增购票人数4人，每个售票窗口每分钟售票3人，则：
300+4×a-3×2×a=240
解这个方程，得a=30．

（2）设第30-78分钟时，售票厅排队等候购票的人数y与售票时间x的函数关系式y=kx+b，
则30k+b=240；78k+b=0．
解得k=-5，b=390．
∴y=-5x+390．
当x=60时，y=-5×60+390=90．
因此，售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有90人．

（3）设至少同时开放n个售票窗口，依题意得：300+30×4≤30×3×n
解得n≥

14

3

．
因此至少同时开放5个售票窗口．

点评：本题是函数与实际问题的综合应用大题，要注意函数图象的运用及方程、不等式的联合运用．