Question

5．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l_x），（x为自然数）．

（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l₁）、P（l₂）都是过点P的△ABC的相似线（其中l₁⊥BC，l₂∥AC），此外还有1条．
（2）如图②，∠A=90°，∠B=∠C，当$\frac{BP}{BA}$=$\frac{1}{3}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．时，P（l_x）截得的三角形面积为△ABC面积的$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 （1）过点P作l₃∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l₃是第3条相似线；
（2）先根据P（l_x）截得的三角形面积为△ABC面积的$\frac{1}{9}$得出相似三角形的相似比，再分三种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）存在另外 1 条相似线．
如图1所示，过点P作l₃∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；
故答案为：1；

（2）∵P（l_x）截得的三角形面积为△ABC面积的$\frac{1}{9}$，
∴相似三角形的相似比为$\frac{1}{3}$．
如图2所示，共有3条相似线，
①第1条l₁，此时P在AB的$\frac{1}{3}$处时，l₁∥AC，$\frac{BP}{BA}$=$\frac{1}{3}$；
②第2条l₂，此时P为斜边AB中点，l₂∥BC，∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{1}{3}$；
③第2条l₃，l₂⊥BC，$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{BP}{\frac{AB}{cos45°}}$=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解答（2）时要注意进行分类讨论，不要漏解．