Question

4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，E为AD边上一点，先沿BE折叠纸片，点A落在矩形内部A'处，再沿EF折叠纸片，使点D落在边BC上D'处（不与点A'重合），旦E、A'、D'三点在一条直线上，则AD的长的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，作EH⊥BC于H．设AE=x，则易知ED=ED′=BD′，设ED=BDED′=y，在Rt△EHD′中，y²=2²+（y-x）²，可得y=$\frac{4+{x}^{2}}{2x}$=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2}$x，推出AD=x+y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{\frac{3}{2}x•\frac{2}{x}}$，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作EH⊥BC于H．设AE=x，则易知ED=ED′=BD′，设ED=BDED′=y，
在Rt△EHD′中，y²=2²+（y-x）²，
∴y=$\frac{4+{x}^{2}}{2x}$=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2}$x，
∴AD=x+y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{\frac{3}{2}x•\frac{2}{x}}$，（a+b≥2$\sqrt{ab}$，a＞0，b＞0）
∴AD≥2$\sqrt{3}$，
∴AD的最小值为2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查翻折变换、勾股定理、矩形的性质、不等式的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，记住a+b≥2$\sqrt{ab}$，a＞0，b＞0，这个基本不等式．