Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系．
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．
（3）当点M、N分别在AB、AC上运动时，四边形AMON的面积是否发生变化？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是直角三角形，点O是BC的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA=OB=OC=

1

2

BC；
（2）由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS证得△AON≌△BOM可得：ON=OM  ①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．
（3）由全等三角形的面积相等和图中图形间的面积关系得到：

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，
∴OA=

1

2

BC=OB=OC，
即OA=OB=OC；

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
连接AO
∵AC=AB，OC=OB
∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，
在△AON与△BOM中，

AN=BM  ∠NAO=∠B  OA=OB

，
∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON=OM，∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形；

（3）当点M、N分别在AB、AC上运动时，四边形AMON的面积不发生变化．理由如下：
M、N运动时始终有△AON≌△BOM，
故S_{四边形AMON}=S_AMO+S_MBO=S_ABO=

1

2

S_ABC．

点评：本题考查了直角三角形斜边上中线，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，题目比较好，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．