Question

4．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）角度，如图2所示．
（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；
（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．

Answer 1

分析 （1）如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E，只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．
（2）如图3中，设AC=x，在RT△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据sinα=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$即可解决问题．

解答 （1）证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
∵∠DBO+∠GOB=90°，
∵∠OGB=∠AGE，
∴∠CAO+∠AGE=90°，
∴∠AEG=90°，
∴BD⊥AC．

（2）解：如图3中，设AC=x，

∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC²+BC²=AB²，
∴x²+（x+17）²=25²，
解得x=7，
∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，
∴∠α=∠ABC，
∴sinα=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型．