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    8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D、E分别是边AC、AB上的任意一点，把△ADE沿直线DE折叠，点A的对应点是A1．
    （1）如图①，若A1是BC边的中点，求CD的长．
    （2）如图②，若CD=$\frac{9}{4}$，点A1在BC边上．求证：四边形ADA1E是菱形．
    （3）若点A1落在BC的下方，A1D、A1E与BC边分别相交于点M、N．
    ①如图③，当△A1MN是等腰三角形（A1M=A1N），求tan∠CDM的值；
    ②是否还有△A1MN是等腰三角形的其他情形？若存在，直接写出tan∠CDM的值．

    分析 （1）在Rt△A1CD中，根据勾股定理得：x2+42=（6-x）2，求x的值，得CD的长；
    （2）如图②，由折叠得：A1D=AD=$\frac{15}{4}$，利用勾股定理得：A1C=$\sqrt{（\frac{15}{4}）^{2}-（\frac{9}{4}）^{2}}$=3，证明△CA1D∽△CBA，利用对应角相等和平行线的判定先证明四边形ADA1E是平行四边形，再加上一组邻边相等可得结论；
    （3）①如图③，作辅助线构建角平分线，求PQ和AQ的长，根据同角的三角函数可得：tan∠CDM=tan∠CAP=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$；
    ②当A1N=MN时，tan∠CDM=$\frac{3}{4}$；当A1M=MN时，tan∠CDM=$\frac{7}{24}$．

    解答 解：（1）如图①，在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
    设CD=x，则A1D=AD=6-x，又A1C=$\frac{1}{2}$BC=4，
    在Rt△A1CD中有x2+42=（6-x）2，
    解得：x=$\frac{5}{3}$，
    ∴CD=$\frac{5}{3}$；
    （2）如图②，在Rt△A1CD中，A1D=AD=6-$\frac{9}{4}$=$\frac{15}{4}$，
    ∴A1C=$\sqrt{（\frac{15}{4}）^{2}-（\frac{9}{4}）^{2}}$=3，
    由$\frac{CD}{CA}=\frac{3}{8}=\frac{C{A}_{1}}{CB}$，
    ∵∠C=∠C，
    ∴△CA1D∽△CBA，
    ∴∠CA1D=∠B，
    ∴A1D∥BA，
    ∵∠EA1C=∠EA1D+∠DA1C=∠A+∠B=90°，
    ∴EA1∥AD，
    ∴四边形ADA1E是平行四边形，
    ∵A1D=AD，
    ∴?ADA1E是菱形；
    （3）①如图③，当A1M=A1N时，过点A1作A1H⊥BC，
    由折叠得：∠BAC=∠DA1E，
    ∵AC∥A1H，
    则∠CDM=∠MA1H=$\frac{1}{2}$∠BAC，
    作∠CAB的平分线AP交CB于点P，过P作PQ⊥AB于点Q，则CP=PQ，
    设CP=y，
    在Rt△PQB中，有y2+42=（8-y）2，
    解得：y=3，
    ∴tan∠CDM=tan∠CAP=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$；
    ②当A1N=MN时，如图④，
    ∴∠A1MN=∠A1，
    ∵∠A=∠A1，∠CMD=∠A1MN，
    ∴∠A=∠CMD，
    ∵tan∠A=$\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
    ∴tan∠CMD=$\frac{CD}{CM}$=$\frac{4}{3}$，
    ∴tan∠CDM=$\frac{3}{4}$；
    当A1M=MN时，如图④，
    ∴∠MA1N=∠MNA1=∠A，
    过A1作A1H⊥BC于H，
    tan∠A=tan∠MNA1=$\frac{4}{3}$=$\frac{{A}_{1}H}{HN}$，
    设A1H=4x，HN=3x，A1M=MN=a，MH=a-3x，
    在Rt△MA1H中，a2-（a-3x）2=（4x）2，
    a=$\frac{5}{6}$x，
    ∵CD∥A1H，
    ∴∠CDM=∠MA1H，
    tan∠CDM=tan∠MA1H=$\frac{MH}{AH}$=$\frac{\frac{25}{6}x-3x}{4x}$，
    ∴tan∠CDM=$\frac{7}{24}$．
    则tan∠CDM的值是$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{4}$或$\frac{7}{24}$．

    点评 本题是四边形的综合题，考查了三角函数、菱形的性质和判定、翻折的性质、三角形相似的性质和判定，本题设未知数，多次运用勾股定理列方程，求解即可；第3问有难度，分类讨论，分别以一边为腰，利用三角函数列等式，解决问题．

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