Question

5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动．已知点E沿射线CB运动，点F沿边BA的延长线运动，连接DF、DE、EF，EF与对角线AC所在的直线交于点P，点H为FB的中点，连接PH．（图1供参考）

（1）请写出DE与DF的关系，并说明理由；
（2）设CE=x，PH=y，求：y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）易得△ADF≌△CDE，从而得到∠FDA=∠EDC、DE=DF，根据∠FDA+∠ADE=∠ADE+∠EDC=90°，即可证得DE⊥DF；
（2）从E作EP垂直BC，交AC于P，证得△AFM≌△PEM后得到MF=ME，结合点H为FB的中点即可知MH=$\frac{1}{2}$BE，从而得出答案．

解答 解：（1）DE=DF且DE⊥DF，理由如下：
∵E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动，
∴CE=AF，
在△ADF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠DAF=∠DCE=90°}\\{AF=CE}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠FDA=∠EDC，DE=DF．
∴∠FDA+∠ADE=∠ADE+∠EDC=90°，
∴DE⊥DF；

（2）当点E在BC上时，过点E作EP⊥BC，交AC于P，

∵AF⊥BC，EP⊥BC，
∴AF∥EP，∠AFM=∠PEM，∠FAM=∠EPM
∵P在AC上，∠ECP=45°，
∴CE=PE，AF=PE，
在△AFM和△PEM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AFM=∠PEM}\\{∠FAM=∠EPM}\\{AF=PE}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△PEM（AAS），
∴MF=ME，即M为EF中点，
又∵点H为FB的中点，
∴MH为△BEF中位线，
∴MH=$\frac{1}{2}$BE，
即y=$\frac{1}{2}$（4-x）=-$\frac{1}{2}$x+2（0≤x≤4）．

点评 本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．