Question

19．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，AE⊥AB，且AE=AC，BE交⊙O于点F．求证：EF•EB=AD•AB．

Answer 1

分析 连接BC，AF，由圆周角定理得到∠ACB=∠AFB=90°，由垂直的定义得到∠ADC=∠EAB=90°，推出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，于是得到AC²=AD•AB，同理得到AE²EF•EB，等量代换即可得到结论．

解答 证明：连接BC，AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AFB=90°，
∵CD⊥AB，AE⊥AB，
∴∠ADC=∠EAB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AB，
∵∠EAB=∠AFE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△ABF，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{AE}$，
∴AE²EF•EB，
∵AC=AE，
∴EF•EB=AD•AB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂直的定义，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．