Question

12．（1）尝试探究：“如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点G是射线CD上一点（点G不与点C重合），BG交AE于点F，若$\frac{AF}{EF}$=$\frac{5}{2}$，求$\frac{CG}{CD}$的值．”在解决这一问题时，我们可以过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是AB=$\frac{5}{2}$EH，CG和EH的数量关系是CG=2EH，$\frac{CG}{CD}$的值是$\frac{4}{5}$；
（2）类比延伸：如图2，在□ABCD中，点E是BC边上的点（点E不与B、C两点重合），点G是射线CD上一点（点G不与点C重合），BG交AE于点F，若$\frac{AF}{EF}$=m，$\frac{BE}{EC}$=n，求$\frac{CG}{CD}$的值；（用含m、n的代数式表示，写出解答过程）
（3）应用迁移：在□ABCD中，点E是BC边上的点（点E不与B、C两点重合），点G是射线CD上一点（点G不与点C重合），BG交AE于点F，若$\frac{AF}{EF}$=$\frac{35}{18}$，$\frac{DG}{CD}$=$\frac{2}{7}$，则$\frac{BE}{EC}$的值为$\frac{2}{3}$或$\frac{18}{7}$．

Answer 1

分析 （1）由EH∥AB，AB∥CD得到$\frac{EH}{AB}=\frac{EF}{AF}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{EH}{CG}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$，找到EH、AB、CG之间的关系即可解决问题．
（2）类似（1）通过平行成比例找到EH、AB、CG之间的关系即可解决问题．
（3）分两种情形讨论，找到AB、EH、CG之间个关系即可得出结论．

解答 解：（1）∵EH∥AB，AB∥CD，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{EF}{AF}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{EH}{CG}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴AB=$\frac{5}{2}$EH，CG=2EH，
∵AB=CD，
∴$\frac{CG}{AB}$=$\frac{CG}{DC}$=$\frac{4}{5}$．
故答案分别为AB=$\frac{5}{2}EH$，CG=2EH，$\frac{4}{5}$．
（2）过点E作EH∥AB交BG于点H，
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=m，AB=mEH$，∵AB=CD，∴CD=mEH，
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}=\frac{n+1}{n}$，
∴CG=$\frac{n+1}{n}EH$，
∴$\frac{CG}{CD}=\frac{\frac{n+1}{n}EH}{mEH}=\frac{n+1}{mn}$，
（3）①当点G在线段CD上时（见图1），过点E作EH∥AB交BG于点H，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EH}=\frac{35}{18}$，$\frac{BE}{BC}=\frac{EH}{CG}$，
∴HE=$\frac{8}{35}AB$，
∵$\frac{DG}{CD}=\frac{2}{7}$，
∴$\frac{CG}{CD}=\frac{5}{7}$，
∴$\frac{EH}{CG}$=$\frac{18}{25}$，
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{EH}{CG}$=$\frac{18}{25}$，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{18}{7}$．
②当点G在CD的延长线上（见图2），过点E作EH∥AB交BG于点H，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EH}=\frac{35}{18}$，$\frac{BE}{BC}=\frac{EH}{CG}$，
∴HE=$\frac{8}{35}AB$，
∵$\frac{DG}{CD}=\frac{2}{7}$，
∴$\frac{CG}{CD}=\frac{9}{7}$，
∴CG=$\frac{9}{7}CD$，
∴$\frac{HE}{CG}$=$\frac{2}{5}$，
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{EH}{CG}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}$或$\frac{18}{7}$．

点评 此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了类比、转化、从特殊到一般等思想方法，以及数形结合思想的应用，要熟练掌握．