Question

2．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为点F．
（1）如果AB=AD，求证：EF∥BD；
（2）如果EF∥BD，求证：AB=AD．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出△ABE≌△ADF（AAS），进而求出答案；
（2）利用平行线分线段成比例定理结合相似三角形的判定与性质得出△ABE∽△ADF，进而求出答案．

解答 证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{DF}{DC}$，
∴EF∥BD；

（2）∵EF∥BD，
∴$\frac{BE}{DF}$=$\frac{BC}{DC}$，
∵∠ABF=∠ADF，∠AEB=∠AFD，
∴△ABE∽△ADF，
∴$\frac{BE}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴AD×BC=AB×DC，
∴AB²=AD²，
∴AB=AD．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识，得出$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AB}{AD}$是解题关键．