Question

10．已知直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点
D（11，6）．
（1）求A、B的坐标；
（2）证明：△ABD是直角三角形；
（3）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标．

Answer 1

分析 （1）对于直线解析式，令x与y为0，分别求出y与x的值，确定出A与B的坐标即可；
（2）过点D作DH⊥x轴于H，DG⊥y轴于G，由D与A的坐标确定出DG与AG的长，利用勾股定理求出AD的长，再求出AB与BD的长，利用勾股定理的逆定理判断即可得证；
（3）作出线段AD的垂直平分线，交x轴于点C，连接AC，DC，利用垂直平分线定理得到AC=DC，设C坐标为（x，0），利用两点间的距离公式列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出C的坐标．

解答 解：（1）对于直线解析式y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令x=0，得到y=4，令y=0，得到x=3，
则A（0，4），B（3，0）；
（2）过点D作DH⊥x轴于H，DG⊥y轴于G，
∵D（11，6），A（0，4），
∴DG=11，AG=2，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{125}$，
∵AB²=4²+3²=25，BD²=8²+6²=100，
∴AB²+BD²=AD²，
则△ABD是直角三角形；
（3）作AD的垂直平分线，交x轴于点C，连接AC，DC，此时AC=DC，
设OC长为x，由两点间的距离公式得：x²+4²=（11-x）²+6²，
解得：x=$\frac{141}{22}$，
则C（$\frac{141}{22}$，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．