Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DB的长；
（3）求S_△FAD：S_△FDB的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD，DO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠CDB=90°
又∵E为BC的中点，
∴DE=EB=EC，∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDB+∠OBD=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵BC²=CD•AC，
∴CD=，AD=．
又∵△ADB∽△BDC，
∴BD²=AD•CD=•．
∴BD=．

（3）解：∵∠FDA=∠FBD，∠F=∠F，
∴△FDA∽△FBD，
∴S_△FAD：S_△FDB=．
分析：（1）连接BD、DO，只要证明∠ODE=90°，OD是半径，就可得到DE是⊙O的切线．
（2）根据△ADB∽△BDC，从而根据相似比不难求得BD的长．
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行分析．
点评：本题利用了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切割线定理等知识点的综合运用．