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    如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．

    （1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；

    （2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；

    （3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；

    （4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．

     


    解：（1）∵点是的中点，∴，∴．

    又∵是的角平分线，∴，

    ∴，∴．

    （2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求．

    易知点的坐标为（2，2），故，作，

     


    ∵是等腰直角三角形，∴，

    ∴点的坐标为（3，3）．

    ∵抛物线经过原点，

    ∴设抛物线的解析式为．

    又∵抛物线经过点和点，

    ∴有  解得

    ∴抛物线的解析式为．

    （3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点．

    连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小．

    ∵抛物线的顶点的坐标，点的坐标，

    设所在直线的解析式为，则有，解得．

    ∴所在直线的解析式为．

    点满足，解得，故点的坐标为．

    的周长即是．

    （4）存在点，使．其坐标是或．

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