Question

12．在学习完一次函数的图象及其性质后，我们可以利用图象上“数对”的一些特殊情况，来重新看待和它相关的一元一次方程、二元一次方程组的解，一元一次不等式（不等式组）的解集问题，下面是有关的描述：
图1是一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象，由于当x=-2时，y=0，所以我们可以知道二元一次方程y=$\frac{1}{2}$x+1一组解是$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}$；也可以得到一元一次方程$\frac{1}{2}$x+1=0的解是，x=-2；同时还可以得到不等式$\frac{1}{2}$x+1＜0的解集是x＜-2．
请尝试用以上的内在联系通过观察图象解决如下问题：
（1）观察图1请直接写出0＜$\frac{1}{2}$x+1＜1时，x的取值范围-2＜x＜0；
（2）请通过观察图2直接写出$\frac{1}{2}$x+1＞-2x+2的解集x＞0.4；
（3）图3给出了y₁=$\frac{1}{2}$x+1以及y₃=-x²+2x+1的图象，请直接写出-x²+2x+1-$\frac{1}{2}$x-1＜0的解集x＜0或x＞1.5．

Answer 1

分析 （1）由图象可知当y=0和y=1时对应的x的值，结合图象可求得x的取值范围；
（2）不等式的解集即函数y=$\frac{1}{2}$x+1图象在函数y=-2x+2上方时对应的x的取值范围，结合A点坐标可求得答案；
（3）把不等式可转化为y₃＜y₁，即直线在二次函数图象的上方时所对应的x的取值，结合两函数图象的交点坐标可求得答案．

解答 解：
（1）由图象可知当y=0时，x=-2，当y=1时，x=0，
∴当0＜$\frac{1}{2}$x+1＜1时，对应的x的取值范围为：-2＜x＜0，
故答案为：-2＜x＜0；
（2）由图象可知，y₁、y₂的图象交于A点，
∵$\frac{1}{2}$x+1＞-2x+2，
∴y₁＞y₂，
即y₁的图象在y₂图象上方时对应的x的取值范围，
结合图象可知在A点右侧时满足条件，
∵A（0.4，1.2），
∴不等式$\frac{1}{2}$x+1＞-2x+2的解集为x＞0.4，
故答案为：x＞0.4；
（3）∵-x²+2x+1-$\frac{1}{2}$x-1＜0
∴-x²+2x+1＜$\frac{1}{2}$x+1，
即y₃的图象在y₁的图象的下方，
∴对应的x的取值范围为x＜0或x＞1.5，
即不等式-x²+2x+1-$\frac{1}{2}$x-1＜0的解集为x＜0或x＞1.5，
故答案为：x＜0或x＞1.5．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有函数、方程、不等式的关系及转化、数形结合思想的应用．充分利用数形结合思想，把不等式转化为对应函数图象的关系是解题的关键．本题考查知识点不多，但是需要注意对图形充分观察，难度适中．