Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O，作直径AE，连接BE；
（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求直径AE的长．（证明△ABE∽△ADC）

Answer 1

解：（1）正确作出△ABC的外接圆⊙O，
正确作出直径AE；

（2）证明：由作图可知AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，（直径所对的圆周角是直角）
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵=，
∴∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴，即，
∴AE=9.6．
分析：（1）由于三角形的外心是三边中垂线的交点，可作△ABC任意两边的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，确定了圆心即可画出⊙O及直径AE．
（2）由圆周角定理可得：∠C=∠E，∠ABE=∠ADC=90°，由此可证得△ADC∽△ABE，根据所得比例线段即可求得直径AE的长．
点评：解决此题的关键是熟练掌握三角形外心的定义，要熟记此题的作图方法，这在求三角形的外接圆半径（或直径）时，是常用也是主要的辅助线作法．