Question

如图1，在⊙O中，E是

AB

的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=

2

3

r（r是⊙O的半径）．
（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）求EF•EC的值；
（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．

Answer 1

考点：圆的综合题,勾股定理的应用,垂径定理,圆周角定理,切线的判定,相似三角形的应用

专题：几何综合题

分析：（1）连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是

AB

的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；
（2）由

AE

=

BE

，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判断△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF•EC=BE²=（

2

3

r）²=

4

9

r²；
（3）如图2，连接OA，由

AE

=

BE

得AE=BE=

2

3

r，设OH=x，则HE=r-x，根据勾股定理，在Rt△OAH中有AH²+x²=r²；在Rt△EAH中由AH²+（r-x）²=（

2

3

r）²，利用等式的性质得x²-（r-x）²=r²-（

2

3

r）²，即得x=

7

9

r，则HE=r-

7

9

r=

2

9

r，在Rt△OAH中，根据勾股定理计算出AH=

4 2 r

9

，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四等分点，所以HF=

1

2

AH=

2 2 r

9

，于是在Rt△EFH中可计算出EF=

2 3

9

r，然后利用（2）中的结论可计算出EC．

解答：（1）证明：连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，
∵E是

AB

的中点，
∴OE⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∴∠HEF+∠HFE=90°，
而∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°，
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF，
而OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，
∴OC⊥CD，
∴直线DC与⊙O相切；

（2）解：连接BC，
∵E是

AB

的中点，
∴

AE

=

BE

，
∴∠ABE=∠BCE，
而∠FEB=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB，
∴EF：BE=BE：EC，
∴EF•EC=BE²=（

2

3

r）²=

4

9

r²；

（3）解：如图2，连接OA，
∵

AE

=

BE

，
∴AE=BE=

2

3

r，
设OH=x，则HE=r-x，
在Rt△OAH中，AH²+OH²=OA²，即AH²+x²=r²，
在Rt△EAH中，AH²+EH²=EA²，即AH²+（r-x）²=（

2

3

r）²，
∴x²-（r-x）²=r²-（

2

3

r）²，即得x=

7

9

r，
∴HE=r-

7

9

r=

2

9

r，
在Rt△OAH中，AH=

OA2-OH2

=

r2-( 7 9 r)2

=

4 2 r

9

，
∵OE⊥AB，
∴AH=BH，
而F是AB的四等分点，
∴HF=

1

2

AH=

2 2 r

9

，
在Rt△EFH中，EF=

HE2+HF2

=

( 2 9 r)2+( 2 2 9 r)2

=

2 3

9

r，
∵EF•EC=

4

9

r²，
∴

2 3

9

r•EC=

4

9

r²，
∴EC=

2 3

3

r．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理；会利用勾股定理进行几何计算，利用相似三角形的知识解决有关线段等积的问题．