Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx+c经过点A（-1，0）和点B（3，0），同时交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将△OBC绕点C逆时针旋转90°，点B的对应点为点B′，试判断点B′是否在该抛物线上？请说明理由．
（3）若点Q在y轴上，点P在抛物线上，且以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线经过A，B点即可求得b、c的值，即可解题；
（2）作出图形，作B'E⊥x轴，易证∠OBC=∠ECB'，即可证明△BOC≌△CEB'，可得CE=OB，EB'=OC，即可解题；
（3）以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，则点P横坐标为4或-4，将x=4或-4代入抛物线解析式即可求得y的值，即可解题．

解答：解：（1）∵点A，B是抛物线y=

1

2

x²+bx+c上点，
∴

1 2 -b+c=0 1 2 ×9+3b+c=0

，
解得：b=-1，c=-

3

2

，
∴抛物线解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

上点；
（2）作出图形，


易得△BOC≌△B′EC
∴CE=OC=

3

2

，EB′=OB=3，
∴点B′坐标为（-

3

2

，

3

2

）；
将x=-

3

2

代入抛物线解析式y=

1

2

x²-x-

3

2

，得y=

9

8

≠

3

2

，故不在该抛物线上
（3）以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
则点P横坐标为4或-4，如图2，

∴当x=4时，代入y=

1

2

x²-x-

3

2

得y=

5

2

，
当x=-4时，代入y=

1

2

x²-x-

3

2

得y=

21

2

，
∴点P坐标为（4，

5

2

），（-4，

21

2

）．

点评：本题考查了抛物线解析式的求解，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键．