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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,﹣ ),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).

(1)求抛物线的解析式及A、B两点的坐标;
(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由;

(3)以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式.

【答案】
(1)

解:由题意,设抛物线的解析式为y=a(x﹣4)2 (a≠0)

∵抛物线经过(0,2)

∴a(0﹣4)2 =2

解得:a=

∴y= (x﹣4)2

即:y= x2 x+2

当y=0时, x2 x+2=0

解得:x=2或x=6

∴A(2,0),B(6,0);


(2)

解:存在,

如图2,由(1)知:抛物线的对称轴l为x=4,

因为A、B两点关于l对称,连接CB交l于点P,则AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小

∵B(6,0),C(0,2)

∴OB=6,OC=2

∴BC=2

∴AP+CP=BC=2

∴AP+CP的最小值为2


(3)

解:如图3,连接ME

∵CE是⊙M的切线

∴ME⊥CE,∠CEM=90°

∵C的坐标(0,2),

∴OC=2,

∵AB=4,

∴ME=2

∴OC=ME=2,

∵∠ODC=∠MDE,

∵在△COD与△MED中

∴△COD≌△MED(AAS),

∴OD=DE,DC=DM

设OD=x

则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x

则Rt△COD中,OD2+OC2=CD2

∴x2+22=(4﹣x)2

∴x=

∴D( ,0)

设直线CE的解析式为y=kx+b(k≠0),

∵直线CE过C(0,2),D( ,0)两点,

解得:

∴直线CE的解析式为y=﹣ +2;


【解析】(1)利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标;(2)线段BC的长即为AP+CP的最小值;(3)连接ME,根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE,∠CEM=90°,从而证得△COD≌△MED,设OD=x,在RT△COD中,利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标,然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可.

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