【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,﹣ ),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).
(1)求抛物线的解析式及A、B两点的坐标;
(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由;
(3)以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式.
【答案】
(1)
解:由题意,设抛物线的解析式为y=a(x﹣4)2﹣ (a≠0)
∵抛物线经过(0,2)
∴a(0﹣4)2﹣ =2
解得:a=
∴y= (x﹣4)2﹣
即:y= x2﹣ x+2
当y=0时, x2﹣ x+2=0
解得:x=2或x=6
∴A(2,0),B(6,0);
(2)
解:存在,
如图2,由(1)知:抛物线的对称轴l为x=4,
因为A、B两点关于l对称,连接CB交l于点P,则AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小
∵B(6,0),C(0,2)
∴OB=6,OC=2
∴BC=2 ,
∴AP+CP=BC=2
∴AP+CP的最小值为2 ;
(3)
解:如图3,连接ME
∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE,∠CEM=90°
∵C的坐标(0,2),
∴OC=2,
∵AB=4,
∴ME=2
∴OC=ME=2,
∵∠ODC=∠MDE,
∵在△COD与△MED中
∴△COD≌△MED(AAS),
∴OD=DE,DC=DM
设OD=x
则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x
则Rt△COD中,OD2+OC2=CD2,
∴x2+22=(4﹣x)2
∴x=
∴D( ,0)
设直线CE的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵直线CE过C(0,2),D( ,0)两点,
则
解得:
∴直线CE的解析式为y=﹣ +2;
【解析】(1)利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标;(2)线段BC的长即为AP+CP的最小值;(3)连接ME,根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE,∠CEM=90°,从而证得△COD≌△MED,设OD=x,在RT△COD中,利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标,然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可.
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【题目】如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC与点G,连结AG、CF.则S△FCG为( )
A.3.6
B.2
C.3
D.4
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【题目】请阅读下列材料:
问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB= ,PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PC是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,进而求出等边△ABC的边长为 ,问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA= ,BP= ,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.
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【题目】如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:
①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH= BD
其中正确结论的为(请将所有正确的序号都填上).
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【题目】下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有4个小圆圈,第②个图形中一共有10个小圆圈,第③个图形中一共有19个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )
A.64
B.77
C.80
D.85
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具,其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍,同样行驶690km,高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h,求高速铁路列车的平均速度.
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